Here's some code that counts them in GAP:
T:=Tuples(Combinations([1,2,3,4]),2);
count:=0;
for A in T do
F1:=A[1];
F2:=A[2];
F2dash:=F2;
if(4 in F2) then
F2dash:=Union(F2dash,[3]);
fi;
if(Intersection(F1,F2dash)<>F1) then
Print([F1,F2]," ",[F2dash],"\n");
count:=count+1;
fi;
od;
Print(count," ordered pairs found.\n");
The output is:
[ [ 1 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 1 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 1 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 1 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 1 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 2, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 3 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 1, 3 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 1, 3 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 1, 3 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 1, 3 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 1, 3 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 3 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 3 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 1, 3 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 3 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 3, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 1, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 2 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 2 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 2 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 2 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 2 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 2 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 2 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 2 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 2, 3 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 2, 3 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 2, 3 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 2, 3 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 2, 3 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 2, 3 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 2, 3 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 2, 3 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 2, 3 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 2, 3 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 2, 3, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 2, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ]
[ [ 3 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 3 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 3 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 3 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 3, 4 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 3, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 3, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 3, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ]
[ [ 3, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 3, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 3, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 3, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
[ [ 4 ], [ ] ] [ [ ] ]
[ [ 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ]
[ [ 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ]
[ [ 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ]
[ [ 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ]
[ [ 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ]
[ [ 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ]
[ [ 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ]
157 ordered pairs found.
So, there are 157 such pairs, agreeing with previous accounts.