Given two latitudes/longitudes (th1,ph1 and th2,ph2), I want to find a simple formula for the locus of th3,ph3 that are equidistant from th1,ph1 and th2,ph2.
Mathematica happily spits out an answer (giving ph3 as a function of th3), but it's unbelivably long (below). Is there a simpler form? I realize I could convert to rectangular coordinates and back, but I'd ultimately just be calculating this result piecemeal.
Mathematica's "Simplify[]" doesn't help much, and "FullSimplify[]" hangs. Restricting the solution to Reals (ie, "Solve[eqn, Reals]") also hangs.
(* define distance using '=' (not ':=') for convenience *)
d2[th1_, ph1_, th2_, ph2_] =
(Sin[ph1]*Cos[th1] - Sin[ph2]*Cos[th2])^2 +
(Sin[ph1]*Sin[th1] - Sin[ph2]*Sin[th2])^2 +
(Sin[ph1] - Sin[ph2])^2;
(* and solve *)
s5 = Solve[{d2[th1, ph1, th3, ph3] == d2[th2, ph2, th3, ph3]}, {th3, ph3}];
InputForm[s5]
InputForm[
{
{th3 -> -ArcCos[(Csc[ph3]^2*(-(Sin[ph3]*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -
4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +
4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*
Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -
4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +
8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*
Sin[th1]^2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +
4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3*
Sin[th2]^2)) - Sqrt[Sin[ph3]^2*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -
4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +
4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*
Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -
4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +
8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*Sin[th1]^
2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +
4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^
3*Sin[th2]^2)^2 - 4*Sin[ph3]^2*(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 -
8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] + 4*Cos[th2]^2*
Sin[ph2]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 - 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[th1]*Sin[th2] + 4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2)*
(Sin[ph1]^4 + 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4 + Cos[th1]^4*Sin[ph1]^4 -
2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 -
2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Cos[th2]^2*
Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 + Sin[ph2]^4 + 2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4 +
Cos[th2]^4*Sin[ph2]^4 - 4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] -
4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*
Sin[ph3] + 4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] + 4*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*
Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3] -
4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^3*Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph3]^2 -
8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3]^2 + 4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2 +
2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 + 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 -
2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2 - 2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*
Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2 - 4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3]*Sin[th1]^2 +
4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3]*Sin[th1]^2 - 4*Sin[ph1]^2*
Sin[ph3]^2*Sin[th1]^2 + Sin[ph1]^4*Sin[th1]^4 +
8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3]^2*Sin[th1]*Sin[th2] -
2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*
Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 + 2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 +
2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 + 4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*
Sin[ph3]*Sin[th2]^2 - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3]*Sin[th2]^2 -
4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2*Sin[th2]^2 - 2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*
Sin[th1]^2*Sin[th2]^2 + Sin[ph2]^4*Sin[th2]^4)]))/
(2*(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 - 8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] +
4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 -
8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[th1]*Sin[th2] + 4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2))]},
{th3 -> ArcCos[(Csc[ph3]^2*(-(Sin[ph3]*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -
4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +
4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*
Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -
4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +
8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*
Sin[th1]^2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +
4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3*
Sin[th2]^2)) - Sqrt[Sin[ph3]^2*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -
4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +
4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*
Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -
4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +
8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*
Sin[th1]^2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +
4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*
Sin[ph2]^3*Sin[th2]^2)^2 - 4*Sin[ph3]^2*
(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 - 8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] +
4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 -
8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[th1]*Sin[th2] + 4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2)*
(Sin[ph1]^4 + 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4 + Cos[th1]^4*Sin[ph1]^4 -
2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 -
2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Cos[th2]^2*
Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 + Sin[ph2]^4 + 2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4 +
Cos[th2]^4*Sin[ph2]^4 - 4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] -
4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*
Sin[ph3] + 4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] + 4*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*
Sin[ph3] - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3] - 4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^3*
Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph3]^2 - 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[ph3]^2 + 4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2 + 2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 +
2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 - 2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*
Sin[th1]^2 - 2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2 -
4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3]*Sin[th1]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3]*
Sin[th1]^2 - 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph3]^2*Sin[th1]^2 +
Sin[ph1]^4*Sin[th1]^4 + 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3]^2*Sin[th1]*
Sin[th2] - 2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 -
2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 +
2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 + 2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 +
4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]*Sin[th2]^2 - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3]*
Sin[th2]^2 - 4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2*Sin[th2]^2 -
2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2*Sin[th2]^2 +
Sin[ph2]^4*Sin[th2]^4)]))/(2*(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 -
8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] + 4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^2 +
4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 - 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[th1]*Sin[th2] +
4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2))]},
{th3 -> -ArcCos[(Csc[ph3]^2*(-(Sin[ph3]*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -
4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +
4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*
Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -
4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +
8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*
Sin[th1]^2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +
4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3*
Sin[th2]^2)) + Sqrt[Sin[ph3]^2*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -
4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +
4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*
Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -
4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +
8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*Sin[th1]^
2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +
4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^
3*Sin[th2]^2)^2 - 4*Sin[ph3]^2*(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 -
8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] + 4*Cos[th2]^2*
Sin[ph2]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 - 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[th1]*Sin[th2] + 4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2)*
(Sin[ph1]^4 + 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4 + Cos[th1]^4*Sin[ph1]^4 -
2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 -
2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Cos[th2]^2*
Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 + Sin[ph2]^4 + 2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4 +
Cos[th2]^4*Sin[ph2]^4 - 4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] -
4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*
Sin[ph3] + 4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] + 4*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*
Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3] -
4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^3*Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph3]^2 -
8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3]^2 + 4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2 +
2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 + 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 -
2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2 - 2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*
Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2 - 4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3]*Sin[th1]^2 +
4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3]*Sin[th1]^2 - 4*Sin[ph1]^2*
Sin[ph3]^2*Sin[th1]^2 + Sin[ph1]^4*Sin[th1]^4 +
8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3]^2*Sin[th1]*Sin[th2] -
2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*
Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 + 2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 +
2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 + 4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*
Sin[ph3]*Sin[th2]^2 - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3]*Sin[th2]^2 -
4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2*Sin[th2]^2 - 2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*
Sin[th1]^2*Sin[th2]^2 + Sin[ph2]^4*Sin[th2]^4)]))/
(2*(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 - 8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] +
4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 -
8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[th1]*Sin[th2] + 4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2))]},
{th3 -> ArcCos[(Csc[ph3]^2*(-(Sin[ph3]*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -
4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +
4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*
Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -
4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +
8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*
Sin[th1]^2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +
4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3*
Sin[th2]^2)) + Sqrt[Sin[ph3]^2*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -
4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +
4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*
Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -
4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +
8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*
Sin[th1]^2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +
4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*
Sin[ph2]^3*Sin[th2]^2)^2 - 4*Sin[ph3]^2*
(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 - 8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] +
4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 -
8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[th1]*Sin[th2] + 4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2)*
(Sin[ph1]^4 + 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4 + Cos[th1]^4*Sin[ph1]^4 -
2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 -
2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Cos[th2]^2*
Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 + Sin[ph2]^4 + 2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4 +
Cos[th2]^4*Sin[ph2]^4 - 4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] -
4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*
Sin[ph3] + 4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3] +
4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] + 4*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*
Sin[ph3] - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3] - 4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^3*
Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph3]^2 - 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*
Sin[ph3]^2 + 4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2 + 2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 +
2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 - 2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*
Sin[th1]^2 - 2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2 -
4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3]*Sin[th1]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3]*
Sin[th1]^2 - 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph3]^2*Sin[th1]^2 +
Sin[ph1]^4*Sin[th1]^4 + 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3]^2*Sin[th1]*
Sin[th2] - 2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 -
2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 +
2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 + 2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 +
4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]*Sin[th2]^2 - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3]*
Sin[th2]^2 - 4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2*Sin[th2]^2 -
2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2*Sin[th2]^2 +
Sin[ph2]^4*Sin[th2]^4)]))/(2*(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 -
8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] + 4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^2 +
4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 - 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[th1]*Sin[th2] +
4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2))]}}]