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Given two latitudes/longitudes (th1,ph1 and th2,ph2), I want to find a simple formula for the locus of th3,ph3 that are equidistant from th1,ph1 and th2,ph2.

Mathematica happily spits out an answer (giving ph3 as a function of th3), but it's unbelivably long (below). Is there a simpler form? I realize I could convert to rectangular coordinates and back, but I'd ultimately just be calculating this result piecemeal.

Mathematica's "Simplify[]" doesn't help much, and "FullSimplify[]" hangs. Restricting the solution to Reals (ie, "Solve[eqn, Reals]") also hangs.

(* define distance using '=' (not ':=') for convenience *)  d2[th1_, ph1_, th2_, ph2_] =  (Sin[ph1]*Cos[th1] - Sin[ph2]*Cos[th2])^2 +  (Sin[ph1]*Sin[th1] - Sin[ph2]*Sin[th2])^2 +  (Sin[ph1] - Sin[ph2])^2;  (* and solve *)  s5 = Solve[{d2[th1, ph1, th3, ph3] == d2[th2, ph2, th3, ph3]}, {th3, ph3}]; InputForm[s5]  InputForm[  {   {th3 -> -ArcCos[(Csc[ph3]^2*(-(Sin[ph3]*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -              4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +              4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*              Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -              4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +              8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*              Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +              8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*              Sin[th1]^2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +              4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3*              Sin[th2]^2)) - Sqrt[Sin[ph3]^2*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -                4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +                4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*                Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -                4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +                8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*                Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +                8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*Sin[th1]^                 2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +                4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^                 3*Sin[th2]^2)^2 - 4*Sin[ph3]^2*(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 -               8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] + 4*Cos[th2]^2*               Sin[ph2]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 - 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*               Sin[th1]*Sin[th2] + 4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2)*             (Sin[ph1]^4 + 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4 + Cos[th1]^4*Sin[ph1]^4 -               2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 -               2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Cos[th2]^2*               Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 + Sin[ph2]^4 + 2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4 +               Cos[th2]^4*Sin[ph2]^4 - 4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] -               4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*               Sin[ph3] + 4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3] +               4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] + 4*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*               Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3] -               4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^3*Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph3]^2 -               8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3]^2 + 4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2 +               2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 + 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 -               2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2 - 2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*               Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2 - 4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3]*Sin[th1]^2 +               4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3]*Sin[th1]^2 - 4*Sin[ph1]^2*               Sin[ph3]^2*Sin[th1]^2 + Sin[ph1]^4*Sin[th1]^4 +               8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3]^2*Sin[th1]*Sin[th2] -               2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*               Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 + 2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 +               2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 + 4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*               Sin[ph3]*Sin[th2]^2 - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3]*Sin[th2]^2 -               4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2*Sin[th2]^2 - 2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*               Sin[th1]^2*Sin[th2]^2 + Sin[ph2]^4*Sin[th2]^4)]))/        (2*(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 - 8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] +           4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 -           8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[th1]*Sin[th2] + 4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2))]},    {th3 -> ArcCos[(Csc[ph3]^2*(-(Sin[ph3]*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -             4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +             4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*             Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -             4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +             8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*             Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +             8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*             Sin[th1]^2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +             4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3*             Sin[th2]^2)) - Sqrt[Sin[ph3]^2*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -               4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +               4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*               Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -               4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +               8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*               Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +               8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*               Sin[th1]^2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +               4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*               Sin[ph2]^3*Sin[th2]^2)^2 - 4*Sin[ph3]^2*            (4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 - 8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] +              4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 -              8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[th1]*Sin[th2] + 4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2)*            (Sin[ph1]^4 + 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4 + Cos[th1]^4*Sin[ph1]^4 -              2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 -              2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Cos[th2]^2*              Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 + Sin[ph2]^4 + 2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4 +              Cos[th2]^4*Sin[ph2]^4 - 4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] -              4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*              Sin[ph3] + 4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3] +              4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] + 4*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*              Sin[ph3] - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3] - 4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^3*              Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph3]^2 - 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*              Sin[ph3]^2 + 4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2 + 2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 +              2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4*Sin[th1]^2 - 2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*              Sin[th1]^2 - 2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2 -              4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3]*Sin[th1]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3]*              Sin[th1]^2 - 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph3]^2*Sin[th1]^2 +              Sin[ph1]^4*Sin[th1]^4 + 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3]^2*Sin[th1]*              Sin[th2] - 2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 -              2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 +              2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 + 2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4*Sin[th2]^2 +              4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]*Sin[th2]^2 - 4*Sin[ph2]^3*Sin[ph3]*              Sin[th2]^2 - 4*Sin[ph2]^2*Sin[ph3]^2*Sin[th2]^2 -              2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2*Sin[th1]^2*Sin[th2]^2 +              Sin[ph2]^4*Sin[th2]^4)]))/(2*(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 -          8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] + 4*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^2 +          4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 - 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[th1]*Sin[th2] +          4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2))]},    {th3 -> -ArcCos[(Csc[ph3]^2*(-(Sin[ph3]*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -              4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +              4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*              Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -              4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +              8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*              Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +              8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*              Sin[th1]^2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +              4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3*              Sin[th2]^2)) + Sqrt[Sin[ph3]^2*(-4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3 -                4*Cos[th1]^3*Sin[ph1]^3 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] +                4*Cos[th1]^2*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2] + 4*Cos[th1]*Sin[ph1]*                Sin[ph2]^2 + 4*Cos[th1]*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2 -                4*Cos[th2]*Sin[ph2]^3 - 4*Cos[th2]^3*Sin[ph2]^3 +                8*Cos[th1]*Sin[ph1]^2*Sin[ph3] - 8*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*                Sin[ph3] - 8*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2]*Sin[ph3] +                8*Cos[th2]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 4*Cos[th1]*Sin[ph1]^3*Sin[th1]^                 2 + 4*Cos[th2]*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[th1]^2 +                4*Cos[th1]*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2 - 4*Cos[th2]*Sin[ph2]^                 3*Sin[th2]^2)^2 - 4*Sin[ph3]^2*(4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2 -               8*Cos[th1]*Cos[th2]*Sin[ph1]*Sin[ph2] + 4*Cos[th2]^2*               Sin[ph2]^2 + 4*Sin[ph1]^2*Sin[th1]^2 - 8*Sin[ph1]*Sin[ph2]*               Sin[th1]*Sin[th2] + 4*Sin[ph2]^2*Sin[th2]^2)*             (Sin[ph1]^4 + 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^4 + Cos[th1]^4*Sin[ph1]^4 -               2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 -               2*Cos[th2]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 - 2*Cos[th1]^2*Cos[th2]^2*               Sin[ph1]^2*Sin[ph2]^2 + Sin[ph2]^4 + 2*Cos[th2]^2*Sin[ph2]^4 +               Cos[th2]^4*Sin[ph2]^4 - 4*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] -               4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^3*Sin[ph3] + 4*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*               Sin[ph3] + 4*Cos[th1]^2*Sin[ph1]^2*Sin[ph2]*Sin[ph3] +               4*Sin[ph1]*Sin[ph2]^2*Sin[ph3] + 4*Cos[th2]^2*Sin[ph1]*               Sin[ph2]^2*Sin[ph3] - 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