Here's some code that counts them in GAP:
T:=Tuples(Combinations([1,2,3,4]),2); count:=0; for A in T do F1:=A[1]; F2:=A[2]; F2dash:=F2; if(4 in F2) then F2dash:=Union(F2dash,[3]); fi; if(Intersection(F1,F2dash)<>F1) then Print([F1,F2]," ",[F2dash],"\n"); count:=count+1; fi; od; Print(count," ordered pairs found.\n");
The output is:
[ [ 1 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 1 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 1 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 1 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 1 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 2 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 1, 2 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 1, 2 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 2 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 1, 2 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 1, 2 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 1, 2 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 2 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 2, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 3 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 1, 3 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 1, 3 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 3 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 1, 3 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 1, 3 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 1, 3 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 3 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 4 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 1, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 1, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 1, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 1, 4 ], [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 4 ], [ 2, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ] ] [ [ 1, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 1, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 1, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 2 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 2 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 2 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 2 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 2 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 2 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 2 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 2 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 2, 3 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 2, 3 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 2, 3 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 2, 3 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 2, 3 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 2, 3 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 2, 3 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 2, 3 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 2, 3, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 2, 4 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 2, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 2, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 2, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 2, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 2, 4 ], [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 2, 4 ], [ 1, 4 ] ] [ [ 1, 3, 4 ] ] [ [ 2, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 2, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 2, 4 ], [ 3, 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 2, 4 ], [ 4 ] ] [ [ 3, 4 ] ] [ [ 3 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 3 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 3 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 3 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 3, 4 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 3, 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 3, 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 3, 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 3, 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 3, 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 3, 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 3, 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] [ [ 4 ], [ ] ] [ [ ] ] [ [ 4 ], [ 1 ] ] [ [ 1 ] ] [ [ 4 ], [ 1, 2 ] ] [ [ 1, 2 ] ] [ [ 4 ], [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 1, 2, 3 ] ] [ [ 4 ], [ 1, 3 ] ] [ [ 1, 3 ] ] [ [ 4 ], [ 2 ] ] [ [ 2 ] ] [ [ 4 ], [ 2, 3 ] ] [ [ 2, 3 ] ] [ [ 4 ], [ 3 ] ] [ [ 3 ] ] 157 ordered pairs found.
So, there are 157 such pairs, agreeing with previous accounts.