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Bonjour,

J'ai rencontré le problème suivant dans le livre "Real and Functional Analysis" de Lang, au chapitre $3$. J'explique d'abord le contexte, puis j'en viendrai à la question précise.

Il faut démontrer que les fonctions de la forme $e^{-x}p(x)$, où $p$ est un polynôme, sont denses dans l'ensemble des fonctions continues sur $[0, +\infty[$ qui tendent vers zéro en $+\infty$, muni de la norme sup.

Pour cela, on applique Stone-Weierstrass au complété $[0,+\infty]$, en considérant l'algèbre des fonctions de la forme $\sum_{n=1}^{N}{e^{-nx}p_n(x)}$ définies sur le complété (auxquelles on doit rajouter aussi des constantes). Ensuite, il faut montrer qu'on peut approcher uniformément les fonctions $e^{-nx}p(x)$ par des fonctions de la forme $e^{-x}q(x)$.

Lang suggère d'approcher d'abord $e^{-2x}$ par des fonctions $e^{-x}q(x)$ à l'aide de la formule de Taylor avec reste, puis $e^{-nx}p(x)$ en général. Je crois avoir réussi la première partie, et la deuxième partie en découle assez facilement pour $n \geq 3$. Par contre, je n'arrive pas à traiter le cas $n = 2$.

Alors ma question est la suivante: Pour $m \in \mathbf{N}$, peut-on approcher uniformément $x^m e^{-2x}$ sur $[0,+\infty[$ par des fonctions de la forme $e^{-x}q(x)$, où $q$ est un polynôme?

J'apprécierais beaucoup une référence ou une démonstration (ou les deux). (Vous pouvez répondre dans une autre langue.)


[Mod: attempt at translation below]

Hello,

I've encountered the following problem in the book "Real and Functional Analysis" by Lang, in chapter 3. I'll first explain the context, after which I'll pose my precise question.

We want to prove that the functions of the form $e^{-x}p(x)$, where $p$ is a polynomial, are dense in the set of continuous functions defined on $[0,\infty)$ which tends to 0 at $+\infty$, equipped with the sup norm.

For this, we apply Stone-Weierstrass on the completion $[0,+\infty]$, and consider the algebra generated from the functions of the form $\sum_{n=1}^N e^{-nx}p_n(x)$ (to which we add also the constant functions). Next, we need to show that we can uniformly approximate the functions $e^{-nx}p(x)$ by functions of the form $e^{-x}q(x)$.

Lang suggests to first approximate $e^{-2x}$ by functions of the form $e^{-x}q(x)$ using Taylor's theorem with remainders. Then consider $e^{-nx}p(x)$ in general. I think I know how to do the first step. For the second step, the $n\geq 3$ cases are easy. On the other hand, I don't know how to treat the case $n=2$.

So here's my question: can we approximate a function of the form $x^me^{-2x}$, where $m\in\mathbb{N}$, uniformly over $[0,\infty)$, by functions of the form $e^{-x}q(x)$, where $q$ is a polynomial?

I would appreciate a reference or a proof (or both). (You can post your answer in another language.)

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    @C.R., le FAQ ne dit rien apropos de la langue... mais l'observation suggère sans doute que le français n'est pas fréquent, non?2011-02-08

2 Answers 2

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Edit: I only achieved the part that C.R. took for granted in his argument. Since it's already written, I leave it here for the sake of completeness.


Let $p_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!} x^{k}$ be the $n$th Taylor polynomial of $e^{-x}$. Then by the Lagrange remainder theorem we have $e^{-x} = p_{n}(x) + \frac{(-1)^{n}}{(n+1)!} e^{-\xi} x^{n+1}$ for some $\xi \in [0,x]$.

Therefore $|e^{-2x} - e^{-x} p_{n}(x)| \leq \frac{e^{-\xi}}{(n+1)!} e^{-x} x^{n+1}$ and we want to show that the right hand side converges to zero uniformly in $x$. As $e^{-\xi} \leq 1$, it suffices to find the maximum of $e^{-x}x^{n+1}$. Differentiation yields that the maximum is located at $x = n+1$ and its value is $\frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1}}$. On the other hand, Stirling's formula tells us that $n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^{n} e^{r_{n}}$ with $|\frac{1}{12n} - r_{n}| \leq \frac{1}{120n^2}$. Putting these things together we get \[ |e^{-2x} - e^{-x} p_{n}(x)| \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi (n+1)}} e^{-r_{n+1}} \xrightarrow{n\to\infty} 0 \] as we wanted.

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Je crois avoir trouvé la solution. C'est une petite astuce à laquelle je n'avais pas pensé. J'espère ne pas faire d'erreur, mais dites-le-moi si j'en fais une.

Tenons pour acquis que $e^{-2x}$ est la limite uniforme d'une suite de fonctions $e^{-x}p_n(x)$, ce qui se démontre par un argument avec la formule de Taylor, lequel j'omettrai si personne ne demande à le voir.

Soit $c > 0$. Par un changement de variable, on voit que $e^{-2cx}$ est la limite uniforme de la suite $e^{-cx}p_n(cx)$. Soit maintenant $r$ un polynôme. Puisque la fonction $e^{-x}r(x)$ est bornée, on a que $e^{-cx}p_n(cx)e^{-x}r(x)$ tend uniformément vers $e^{-2cx}e^{-x}r(x)$.

Autrement dit, les fonctions de la forme $e^{-(2c+1)x}p(x)$ sont dans la clôture uniforme de celles de la forme $e^{-(c+1)x}p(x)$. En posant $\alpha = \frac{2c+1}{c+1}$ (qui peut prendre n'importe quelle valeur $1 < \alpha < 2$), on a par un nouveau changement de variable que pour tout $d > 0$, les fonctions $e^{-\alpha dx}p(x)$ sont dans la clôture uniforme des fonctions $e^{-dx}p(x)$.

Il suffit maintenant de choisir $c$ pour que $\alpha = \sqrt{2}$, et d'appliquer deux fois ce qui précède.

Remarques:

  1. Souvent quand je rencontre un argument dans un livre de Lang qui semble marcher presque, mais pas tout à fait, je suis tenté de croire que c'est une erreur. Dans ce cas-ci, je suis allé un peu vite en besogne.

  2. Merci aux traducteurs. Traduire peut aider plus de gens à comprendre. Par contre, je ne voudrais pas que les gens se sentent obligés de traduire s'ils n'y voient pas d'intérêt. J'ai vu sur une autre page quelqu'un parler d'une " 'translate this and do my work for me' mentality." Je n'ai pas posé la question pour obliger quelqu'un d'autre à faire ce travail. Personnellement, j'aurais été parfaitement satisfait que la question soit laissée telle quelle, même si cela voulait dire que certaines personnes ne pourraient pas la comprendre.

  3. Je suis passablement choqué d'avoir fait couler autant d' "encre" (si je puis dire). J'aurais préféré n'attirer l'attention que relativement à la question de maths.

  4. Un grand merci à ceux qui ont réfléchi au contenu mathématique de la question.

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    L'argume$n$t de Theo Buehler ci-dessous me semble entièrement correct.2011-02-09