Bonjour,
J'ai rencontré le problème suivant dans le livre "Real and Functional Analysis" de Lang, au chapitre $3$. J'explique d'abord le contexte, puis j'en viendrai à la question précise.
Il faut démontrer que les fonctions de la forme $e^{-x}p(x)$, où $p$ est un polynôme, sont denses dans l'ensemble des fonctions continues sur $[0, +\infty[$ qui tendent vers zéro en $+\infty$, muni de la norme sup.
Pour cela, on applique Stone-Weierstrass au complété $[0,+\infty]$, en considérant l'algèbre des fonctions de la forme $\sum_{n=1}^{N}{e^{-nx}p_n(x)}$ définies sur le complété (auxquelles on doit rajouter aussi des constantes). Ensuite, il faut montrer qu'on peut approcher uniformément les fonctions $e^{-nx}p(x)$ par des fonctions de la forme $e^{-x}q(x)$.
Lang suggère d'approcher d'abord $e^{-2x}$ par des fonctions $e^{-x}q(x)$ à l'aide de la formule de Taylor avec reste, puis $e^{-nx}p(x)$ en général. Je crois avoir réussi la première partie, et la deuxième partie en découle assez facilement pour $n \geq 3$. Par contre, je n'arrive pas à traiter le cas $n = 2$.
Alors ma question est la suivante: Pour $m \in \mathbf{N}$, peut-on approcher uniformément $x^m e^{-2x}$ sur $[0,+\infty[$ par des fonctions de la forme $e^{-x}q(x)$, où $q$ est un polynôme?
J'apprécierais beaucoup une référence ou une démonstration (ou les deux). (Vous pouvez répondre dans une autre langue.)
[Mod: attempt at translation below]
Hello,
I've encountered the following problem in the book "Real and Functional Analysis" by Lang, in chapter 3. I'll first explain the context, after which I'll pose my precise question.
We want to prove that the functions of the form $e^{-x}p(x)$, where $p$ is a polynomial, are dense in the set of continuous functions defined on $[0,\infty)$ which tends to 0 at $+\infty$, equipped with the sup norm.
For this, we apply Stone-Weierstrass on the completion $[0,+\infty]$, and consider the algebra generated from the functions of the form $\sum_{n=1}^N e^{-nx}p_n(x)$ (to which we add also the constant functions). Next, we need to show that we can uniformly approximate the functions $e^{-nx}p(x)$ by functions of the form $e^{-x}q(x)$.
Lang suggests to first approximate $e^{-2x}$ by functions of the form $e^{-x}q(x)$ using Taylor's theorem with remainders. Then consider $e^{-nx}p(x)$ in general. I think I know how to do the first step. For the second step, the $n\geq 3$ cases are easy. On the other hand, I don't know how to treat the case $n=2$.
So here's my question: can we approximate a function of the form $x^me^{-2x}$, where $m\in\mathbb{N}$, uniformly over $[0,\infty)$, by functions of the form $e^{-x}q(x)$, where $q$ is a polynomial?
I would appreciate a reference or a proof (or both). (You can post your answer in another language.)